本文极为简略，仅作为学习笔记使用，许多证明步骤未写出．

均值不等式

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

这是高中数学课本上第一个重要的不等式，A 版教材称为基本不等式，B 版教材称为均值不等式．

其中， $\frac{a+b}{2}$ 称为算术平均值， $\sqrt{ab}$ 称为几何平均值．

证明

画图中……

变形

均值不等式有多个变形 / 推广形式，极其常用的有：

$a+b \geq 2\sqrt{ab} \nobreakspace(a,b \in R_+)$

$ab \leq (\frac{a+b}{2})^2 \nobreakspace(a,b \in R_+)$

此外还有：

$a+\frac{1}{a} \geq 2 \nobreakspace(a>0)$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2 \nobreakspace(\frac{a}{b}>0)$

$a^2+b^2 \geq 2ab \nobreakspace(a,b \in R)$

应用

均值不等式的应用有三个条件：

一正： 两个数均为正实数，即 $a,b \in R_+$ ．
二定： 求和时积为定值，求积时和为定值．
三相等： 等号能成立，即等号成立的条件能满足．

特殊情况：

一不正

条件一正没有满足即为一不正，又分为两种情况：

一不正

$a,b$ 一正一负，即 $a > 0, b < 0$ ．

一不正时，均值不等式不成立，无法利用均值不等式求解．此时应放弃均值不等式，尝试将原式化为 $f(x) = x-\frac{p}{x} \nobreakspace(p > 0)$ 的形式．此函数为飘带函数，随后便可以利用函数的单调性求解．

二不正

$a,b$ 均为负实数，即 $a,b < 0$ ．

类似的，此时均值不等式不成立，无法利用均值不等式求解．此时应放弃均值不等式，提取 $a,b$ 的负号，利用均值不等式求解之后，再利用不等式的基本性质二恢复负号．

二不定

条件二定没有满足即为二不定．此时均值不等式不成立，无法利用均值不等式求解主要利用配凑的方法求解．又分为两种情况：

求和积不定

利用加减等方法凑出分母的倍数．

例：当 $x > 1$ 时，求 $x+\frac{4}{x-1}$ 的最小值．

将 $x+\frac{4}{x-1}$ 转化为 $(x-1)+\frac{4}{x-1}+1$ ．检验 $x-1 > 0$ 且 $\frac{4}{x-1} > 0$ ，则有：

$\begin{aligned} (x-1)+\frac{4}{x-1}+1 &\geq 2\sqrt{(x-1)\cdot\frac{4}{x-1}}+1 \\ &= 2\sqrt{4}+1 \\ &= 5 \end{aligned}$

当且仅当 $x-1 = \frac{4}{x-1}$ ，即 $x = 3$ 时，等号可以成立，得出 $x+\frac{4}{x-1}$ 的最小值为 $5$ ．

求积和不定

改变某一因式系数使和为定值．

例：当 $x \in (0,1)$ 时，求 $x(3-2x)$ 的最大值．

将 $x(3-2x)$ 转化为 $\frac{1}{2}\cdot2x(3-2x)$ ．检验 $2x > 0$ 且 $\frac{3-2x}{x} >0$ ，则有：

$\begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot2x(3-2x) &\leq \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2x+(3-2x)}{2}\right]^2 \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{9}{4} \\ &= \frac{9}{8} \end{aligned}$

当且仅当 $2x = 3-2x$ ，即 $x = \frac{3}{4}$ 时，等号可以成立，得出 $x(3-2x)$ 的最大值为 $\frac{8}{9}$ ．

三不相等

此时均值不等式不成立，无法利用均值不等式求解．此时应放弃均值不等式，尝试将原式化为 $f(x) = x+\frac{p}{x} \nobreakspace(p > 0)$ 的形式．此函数为对勾函数，其两个拐点一正一负，横坐标为 $\sqrt{p}$ 和 $-\sqrt{p}$ ，代入求值得出拐点坐标后便可以利用函数的单调性求解．

1 的代换

1 的代换法是将代数式同时乘以 “1”，转化为均值不等式求解，通常是给出一个和，再求一个和的形式．

例：正数 $x,y$ 满足 $\frac{3}{x}+\frac{1}{y} = 5$ ，求 $3x+4y$ 的最小值．

$\begin{aligned} 3x+4y &= 1\cdot(3x+4y) \\ &= \frac{1}{5}\cdot(\frac{3}{x}+\frac{1}{y})\cdot(3x+4y) \\ &= \frac{1}{5}\cdot(\frac{3}{x}\cdot3x+\frac{3}{x}\cdot4y+\frac{1}{y}\cdot3x+\frac{1}{y}\cdot4y) \\ &= \frac{1}{5}(9+\frac{12y}{x}+\frac{3x}{y}+4) \\ &\geq \frac{1}{5}\cdot(9+4+2\sqrt{\frac{12y}{x}\cdot\frac{3x}{y}}) \\ &= \frac{1}{5}(9+4+12) \\ &= 5 \end{aligned}$

当且仅当 $\frac{12y}{x} = \frac{3x}{y}$ 时，等号成立．联立方程：

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{12y}{x} = \frac{3x}{y} \end{cases}$

解得：

$\begin{cases} x = 1 \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$

满足条件，可得 $3x+4y$ 的最小值为 $5$ ．

重要不等式

证明

由平方差公式： $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

并平方的性质： $x^2 \geq 0$

可以得到： $a^2-2ab+b^2 \geq 0$

移项即可得： $a^2+b^2 \geq 2ab$

可作为均值不等式的补充．

由于平方的性质中 $x \in R$ ，因此重要不等式的条件略有不同：

一实： 两个数均为实数，即 $a,b \in R$ ．
二定： 求和时积为定值，求积时和为定值．
三相等： 等号能成立，即等号成立的条件能满足．

连续不等式

均值不等式的全部如下：

$\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \leq \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$ ，其中：

$\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$ 是调和平均值，

$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}$ 是几何平均值，

$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ 是算术平均值，

$\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$ 是平方平均值．

这个不等式链展示了不同平均值之间的大小关系．

糖水不等式

一杯质量为 $b$ 的糖水含有质量为 $a$ 的糖分，易得该杯糖的质量浓度为 $\frac{a}{b}$ ．向杯中加入质量为 $c$ 的糖，易得该杯糖水的质量浓度为 $\frac{a+c}{b+c}$ ．由常识即可得 $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}$ ．并由情境得： $a>b>0,c>0$ ．

证明

作差： $\frac{a}{b} - \frac{a+c}{b+c}$

简化后得到： $\frac{c(a - b)}{b(b+c)} > 0$

所以不等式 $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}$ 在 $a>b>0,c>0$ 时成立．

权方和不等式

$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} \geq \frac{x^2+y^2}{a+b} \nobreakspace(a,b,x,y \in R_+)$

证明

$\begin{aligned} (\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b})\cdot(a+b) &= x^2+\frac{bx^2}{a}+\frac{ay^2}{b}+y^2 \\ &\geq x^2+y^2+2\sqrt{\frac{bx^2}{a}\cdot\frac{ay^2}{b}} \\ &= x^2+y^2+2xy \\ &=(x+y)^2 \end{aligned}$

利用不等式的基本性质二即可得到 $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} \geq \frac{x^2+y^2}{a+b}$